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『译研报03』Z变换改造均线，一个12年前的策略为何仍能跑赢大盘？
传统移动平均线（MA）是技术分析中常用的趋势跟踪指标，通过对股票价格或指数在一定天数内的平均值进行计算，以刻画其变动方向。MA 的计算天数越多，其平滑性越好，但随之而来的时滞（延迟）影响也越严重。这意味着 MA 指标在跟踪趋势时容易出现“跟不紧”甚至“跟不上”的情况，平滑性和延迟性成为其不可避免的矛盾。
低延迟趋势线（LLT）的构造借鉴了信号处理理论中的滤波方法。传统的 EMA 指标被视为一阶低通滤波器，但其滤波效果相对较差，通带和阻带间的过渡带太长。LLT 通过设计二阶滤波器来优化滤波效果，实现了对信号高频部分的有效过滤，同时保留了低频部分的强度。与 MA 和 EMA 均线相比，LLT 大幅降低了延迟，同时兼顾了趋势线的平滑性，从而克服了传统 MA 指标在跟踪趋势时的滞后问题。
本文取材于广发证券-《低延迟趋势线与交易择时》一文。原文仅回测到2013年。我们在此基础上回测到2024年底，发现它在多空组合时，仍有很好的表现（上证夏普1.33）。
策略档案之LLT
LLT
Benchmark
Strategy
Start Period
2013-01-04
2013-01-04
End Period
2024-12-31
2024-12-31
Cumulative Return
47%
345%
CAGR﹪
2%
9%
Sharpe
0.27
1.33
传统均线系统
为了对比，我们先给出传统均线的定义及图形。
移动平均（Moving Average）线，其算法为：
\(MA(n) = \frac{1}{n}\sum^{n-1}_{i=0}price(T-i)\)
其中 price 一般选择收盘价，MA(n) 即为 T 日的 n 日均线指标。对于 MA 指标，n 越大，趋势线的平滑性越好。
基于移动均线，我们可以实现一个简单的趋势跟随策略。信号的判断方式是看移动平均线的切线。如果切线斜率向上，则多头持有；如果切线斜率向下，则多头卖出。
下面的代码演示了 5, 10, 30 和 60 日均线。其中 30 日均线被称为生命线。最后的绘图中，显示了 30 日均线上，切线由正转负的情况。
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73 def get_price ( symbol , start_date , end_date ):
pro = pro_api ()
price_df = pro . index_daily (
ts_code = symbol ,
start_date = start_date . strftime ( "%Y%m %d " ),
end_date = end_date . strftime ( "%Y%m %d " ),
)
price_df = (
price_df . rename ({ "trade_date" : "date" , "ts_code" : "asset" }, axis = 1 )
. sort_values ( "date" , ascending = True )
. set_index ( "date" )
)
return price_df [[ "close" ]]
start = datetime . date ( 2012 , 10 , 26 )
end = datetime . date ( 2013 , 4 , 9 )
price_df = get_price ( "000001.SH" , start , end )
for i in [ 5 , 10 , 30 , 60 ]:
price_df [ f "MA%d" % i ] = price_df [ "close" ] . rolling ( i ) . mean ()
# 计算生命线趋势拐点
price_df [ "slope_30_5" ] = price_df [ "MA30" ] . rolling ( 5 , min_periods = 5 ) . apply ( lambda y : np . polyfit ( np . arange ( 5 ), y , 1 )[ 0 ])
price_df [ "slope_30_5" ] = price_df [ "slope_30_5" ] . fillna ( 0 )
signs = np . sign ( price_df [ "slope_30_5" ])
sign_changes = signs * signs . shift ( 1 ) == - 1
revert_dates = price_df . index [ sign_changes ]
print ( "找到的反转日期：" , [ i for i in revert_dates ])
# 在现有图表上添加切线
cols = [ "MA5" , "MA10" , "MA30" , "MA60" ]
ax = price_df [ cols ] . plot ( figsize = ( 18 , 8 ), title = '30 日均线切线分析' )
# 切线长度
tangent_length = 15
for dt in revert_dates :
# 获取该位置的 MA 值和斜率
ma_value = price_df . loc [ dt , 'MA30' ]
slope = price_df . loc [ dt , 'slope_30_5' ]
i = price_df . index . get_loc ( dt )
# 计算切线范围
start_idx = max ( 0 , i - tangent_length )
end_idx = min ( len ( price_df ), i + tangent_length + 1 )
# 计算切线坐标
x_offset = np . arange ( start_idx - i , end_idx - i )
y_tangent = ma_value + slope * x_offset
tangent_dates = np . arange ( start_idx , end_idx )
# 绘制切线
color = 'green' if slope > 0 else 'red'
linestyle = '-.' if slope > 0 else '--'
ax . plot ( tangent_dates , y_tangent ,
color = color , linestyle = linestyle , linewidth = 2 , alpha = 0.8 )
# 标记切点
ax . scatter ( i , ma_value , color = color , s = 100 , zorder = 5 )
ax . annotate ( dt ,
xy = ( i , ma_value ),
xytext = ( 5 , 10 ), textcoords = 'offset points' ,
fontsize = 9 , color = color ,
bbox = dict ( boxstyle = 'round,pad=0.3' , facecolor = 'white' , alpha = 0.8 ))
plt . show ()
在该图中，绿色线为30日线。红点处，30日均线斜率由正转负，即为卖出信号。我们看到，通过 30 日均线的趋势跟随，可以捕捉到大的波段行情。但是，当趋势线提示我们该下车时，已经离行情高点下降不少。但如果使用 5 日均线这种短一点的均线，又会导致频繁发出信号，增加交易成本的情况。
这个结果表明，传统均线存在窗口小时，均线不平滑，趋势线切线上下抖动现象严重；窗口大时，均线平滑性好，但滞后性较强的问题。
Tip
寻找切线反转点（即切线斜率由正变负，或者由负变正）时，比较有技巧。这个技巧在很多场合下都会遇到：
price_df [ "slope_30_5" ] = price_df [ "slope_30_5" ] . fillna ( 0 )
signs = np . sign ( price_df [ "slope_30_5" ])
sign_changes = signs * signs . shift ( 1 ) == - 1
revert_dates = price_df . index [ sign_changes ]
如何解决传统均线在延迟和平滑上，存在鱼与熊掌不可兼得的矛盾？
LLT 均线
研报在 LLT 均线的原理及推导上介绍得比较深入细致。但是，要理解 LLT，需要有 Z 变换等基础，我们简单解释如下：
\[\frac{LLT(z)}{price(z)} = \frac{(\alpha-\alpha^2/4) + (\alpha^2/2)z^{-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)z^{-2}}{1-2(1-\alpha)z^{-1} + (1-\alpha)^2z^{-2}}\]
这是一个所谓的Z域上的公式，我们需要按相应的规则，变换为时域公式。它的变换规则是：
上式是一个二阶 IIR 滤波器的传递函数。要得到时域递推公式，需要将分子分母都乘以分母的表达式，使分母变为 1（即左边只剩 LLT(z)），右边是分子的多项式与 price(z) 的卷积：
\(\(LLT(z) \cdot [1-2(1-\alpha)z^{-1} + (1-\alpha)^2z^{-2}] = price(z) \cdot [(\alpha-\alpha^2/4) + (\alpha^2/2)z^{-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)z^{-2}]\) \)
展开后，按 z 变换的性质，将 z{-1}、z 分别对应到时域的 t-1、t-2 期：
\(\(LLT_t - 2(1-\alpha)LLT_{t-1} + (1-\alpha)^2LLT_{t-2} = (\alpha-\alpha^2/4)price_t + (\alpha^2/2)price_{t-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)price_{t-2}\) \)
移项得到递推公式：
\(\(LLT_t = (\alpha-\alpha^2/4)price_t + (\alpha^2/2)price_{t-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)price_{t-2} + 2(1-\alpha)LLT_{t-1} - (1-\alpha)^2LLT_{t-2}\) \)
变换后，我们最终得到的公式为：
\[
y_t = (\alpha-\alpha^2/4)x_t + (\alpha^2/2)x_{t-1} - (\alpha-3\alpha^2/4)x_{t-2} + 2(1-\alpha)y_{t-1} - (1-\alpha)^2y_{t-2}
\]
可以看到，最终公式是一个递归函数，这里的\(y_t\) 即为我们要求的LLT，它由前两期的LLT与最近三期的价格、以及一个\(\alpha\) 参数共同决定。
它的实现代码是：
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36 import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
def calculate_llt ( prices , alpha = 0.05 ):
"""
计算LLT (Linearly Weighted Least Squares Triangular) 均线
参数:
prices (array-like): 价格序列
alpha (float): 平滑系数，范围(0,1)，值越小均线越平滑，滞后性越大
返回:
array: LLT均线序列
"""
n = len ( prices )
llt = np . zeros ( n )
# 初始化前两个值
if n >= 1 :
llt [ 0 ] = prices [ 0 ]
if n >= 2 :
llt [ 1 ] = prices [ 1 ]
# 计算系数
a1 = alpha - ( alpha ** 2 ) / 4
a2 = ( alpha ** 2 ) / 2
a3 = alpha - 3 * ( alpha ** 2 ) / 4
a4 = 2 * ( 1 - alpha )
a5 = - ( 1 - alpha ) ** 2
# 递归计算LLT
for t in range ( 2 , n ):
llt [ t ] = a1 * prices [ t ] + a2 * prices [ t - 1 ] - a3 * prices [ t - 2 ] + a4 * llt [ t - 1 ] + a5 * llt [ t - 2 ]
return llt
下面，我们对比一下EMA， 5日均线以及LLT均线：
price_df = get_price ( "000001.SH" , start , end )
price_df [ 'EMA' ] = price_df [ 'close' ] . ewm ( alpha = 0.05 , adjust = False ) . mean ()
price_df [ 'MA30' ] = price_df [ 'close' ] . rolling ( 30 ) . mean ()
price_df [ 'LLT' ] = calculate_llt ( price_df [ 'close' ], 0.05 )
price_df . plot ( figsize = ( 18 , 8 ), title = '各类趋势线比较' )
从这个个例上看，LLT确实跟得更紧（接近MA5），同时做到了比较平滑（比EMA更平滑，接近MA30）。
在计算LLT时，有一个\(\alpha\) 参数，它的取值对平滑程度和延迟性都有影响：
for a in [ 0.03 , 0.04 , 0.05 ]:
price_df [ f 'LLT(%s)' % a ] = calculate_llt ( price_df [ 'close' ], a )
show_cols = [ "LLT(0.03)" , "LLT(0.04)" , "LLT(0.05)" ]
price_df [ show_cols ] . plot ( figsize = ( 18 , 9 ), title = '不同α参数的LLT趋势线' )
回测与对比
我们先来看看传统均线的回测情况。我们将定义一个交易函数，它接受一个dataframe，因子列名和计算slope的窗口。后面我们在对LLT进行回测时，我们将使用同一个函数，这样可以确保对比的公正性。
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61 import quantstats as qs
mport quantstats as qs
def trading_strategy ( df , factor_col : str , slope_window = 5 , long_weight = 0.5 , short_weight = 0.5 ):
"""
计算基于均线斜率的多空组合策略收益
参数:
price_df: 包含收盘价的DataFrame
factor_col: 因子列
slope_window: 计算斜率的窗口大小
long_weight: 多头仓位权重 (0-1)
short_weight: 空头仓位权重 (0-1)
返回:
DataFrame: 包含策略收益的DataFrame
"""
df = df . copy ()
df [ 'slope' ] = ( df [ factor_col ] . rolling ( slope_window )
. apply ( lambda x : np . polyfit ( np . arange ( slope_window ), x , 1 )[ 0 ]))
df [ 'signal' ] = 0
df . loc [ df [ 'slope' ] > 0 , 'signal' ] = 1
df . loc [ df [ 'slope' ] < 0 , 'signal' ] = - 1
# 计算每日收益率
df [ 'benchmark' ] = df [ 'close' ] . pct_change ()
# 计算多空组合收益
df [ 'long_return' ] = np . where ( df [ 'signal' ] == 1 , df [ 'benchmark' ], 0 )
df [ 'short_return' ] = np . where ( df [ 'signal' ] == - 1 , - df [ 'benchmark' ], 0 )
# 组合收益 = 多头收益 * 多头权重 + 空头收益 * 空头权重
df [ 'strategy' ] = df [ 'long_return' ] * long_weight + df [ 'short_return' ] * short_weight
return df
def backtest_ma ( start , end , win : int = 30 ):
price_df = get_price ( "000001.SH" , start , end )
factor_col = f "ma { win } "
price_df [ factor_col ] = price_df [ "close" ] . rolling ( win ) . mean ()
strategy_df = trading_strategy ( price_df , factor_col )
strategy_df . index = pd . to_datetime ( strategy_df . index )
qs . plots . returns (
returns = strategy_df [ "strategy" ],
benchmark = strategy_df [ "benchmark" ]
)
metrics = qs . reports . metrics (
returns = strategy_df [ "strategy" ],
benchmark = strategy_df [ "benchmark" ],
display = False
)
print ( metrics [: 10 ])
start = datetime . date ( 2005 , 9 , 6 )
end = datetime . date ( 2013 , 6 , 28 )
backtest_ma ( start , end )
我们在30日均线上，回测得到的结果，与研报基本一致，都在300%左右。
Tip
理论上，知道回测时间，我们应该能做到像素级的复现。但是，这里有一个重要的参数，即求斜率时的窗口大小，研报没有披露。我们在复现时，使用的窗口为5。
所以，在对LLT进行回测时，我们只需要先计算出LLT，再将LLT作为因子传入 trading_strategy 函数即可。
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25 def backtest_llt ( start , end , win : int = 30 , d = 20 ):
price_df = get_price ( "000001.SH" , start , end )
alpha = 2 / ( d + 1 )
price_df [ "llt" ] = calculate_llt ( price_df [ "close" ], alpha )
strategy_df = trading_strategy ( price_df , "llt" )
strategy_df . index = pd . to_datetime ( strategy_df . index )
qs . plots . returns (
returns = strategy_df [ "strategy" ],
benchmark = strategy_df [ "benchmark" ]
)
metrics = qs . reports . metrics (
returns = strategy_df [ "strategy" ],
benchmark = strategy_df [ "benchmark" ],
display = False
)
print ( metrics [: 10 ])
start = datetime . date ( 2005 , 1 , 1 )
end = datetime . date ( 2012 , 10 , 1 )
backtest_llt ( start , end )
运行结果表明，改用LLT均线之后，在同样的时间段，累积收益高出100%，夏普也由1.35提升到1.61，超额非常明显。
以上是研报复现的情况。研报发表时间较早，因此只回测到2013年，在此之后，情况如何？这个策略是否仍然有效?
如果把回测时间改到2013年之后，2024年底之前，保持alpha仍为0.05, 我们发现收益率对benchmark，仍有明显的超额。考虑到2015年之后，A股就一直没有大的行情，作为趋势跟随策略，收益不可能象之前那么好，也是理所当然。
不过，考虑增加alpha值（对应ema线窗口缩短）为0.1，以捕捉更短的波段，增加交易机会之后，则仍可以得到非常漂亮的超额和夏普：
start = datetime . date ( 2013 , 1 , 1 )
end = datetime . date ( 2024 , 12 , 31 )
backtest_llt ( start , end , d = 10 )
如果进一步增加alpha值到0.17（对应d=5）左右，则从2014年之后，上证指数多空组合收益达到了345%，夏普达到了1.33！
本策略全部代码以notebook格式发布在Quantide Research平台。加入平台后，可自行运行和验证此策略。
